Aplikasi geometri fraktal telah berkembang sangat pesat di berbagai bidang IPTEK, antara lain di bidang ilmu komputer, kedokteran, fisika, kimia, biologi, analisis fraktal gempa bumi melalui analisis wavelet, nano teknologi, rekayasa (desain produk keramik, arsitektur, dan teknik sipil, penambangan minyak dan batubara), seni batik, dan lain-lain. Pembahasan dalam buku ini difokuskan pada konsep fraktal dari sudut pandang matematika.

Geometri fraktal, secara matematis, mempelajari himpunan yang tidak teratur (irregular sets) dari objek-objek seperti himpunan Cantor, himpunan Julia, himpunan Mandelbrot, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, gambar (citra) daun, batik, gunung, garis pantai, awan, crop circles, foto rongen di kedokteran, citra berbagai grafik yang tidak teratur seperti grafik bursa efek, seismograf gempa, rekam detak jantung, dan lain sebagainya.

Buku ini membahas secara mendetail tentang ruang fraktal, metrik Hausdorff, kelengkapan ruang fraktal, pemetaan kontraksi pada ruang fraktal, Sistem Fungsi Iterasi (SFI), attraktor, paradoks pada fraktal, dimensi fraktal, interpolasi fraktal, dan pembuatan program fraktal. Setiap bab dalam buku ini diawali dengan tujuan dan capaian pembelajaran dan diakhiri dengan soal-soal latihan. Buku ini juga ditinjau secara matematis dan diberikan penjelasan tentang peranan komputer dalam menggambar fraktal dengan menggunakan dua algoritma, yaitu (a) Algoritma Deterministik dan (b) Algoritma Iterasi Random.

Assalaamu’alaikum warahmatullaahi wabarakatuh Penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Allah subhanahu wa taala, atas selesainya penulisan buku teks dengan judul Geometri Fraktal.

Buku ini dapat digunakan sebagai salah satu referensi mata kuliah Pengantar Geometri Fraktal di tingkat sarjana (S-1) atau mata kuliah Geometri Fraktal, di tingkat magister (S-2) untuk Program Studi Matematika, Pendidikan Matematika, Statistika, Ilmu Komputer, Teknologi Informasi atau program studi lain yang relevan.

Agar dapat membaca buku ini dengan baik, diperlukan pengetahuan tentang fungsi, iterasi fungsi dengan domain himpunan bagian dari ruang Euclides ℝn dan ruang metrik lengkap (X,d), topologi pada ruang metrik, konvergensi, ekuivalensi ruang metrik, himpunan kompak, dan pemetaan kontraksi. Untuk menggambar fraktal sebaiknya pembaca juga mengenal minimal salah satu bahasa pemrograman seperti pemrograman Pascal, C++, MatLab, Wolfram Mathematica atau bahasa pemrograman lainnya.

Dalam buku ini dibicarakan secara detail tentang ruang fraktal, metrik Hausdorff, kelengkapan ruang fraktal, pemetaan kontraksi pada ruang fraktal, Sistem Fungsi Iterasi (SFI), attraktor, paradoks pada fraktal, dimensi fraktal, interpolasi fraktal, dan pemrograman fraktal. Setiap bab diawali dengan tujuan dan capaian pembelajaran dan diakhiri dengan soal-soal latihan. Di sini, geometri fraktal dikonstruksikan secara matematis untuk mempelajari himpunan yang tidak teratur (irregular sets) dari objek-objek seperti himpunan Cantor, himpunan Julia, himpunan Mandelbrot, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, gambar daun pakis, batik, gunung, garis pantai, awan, crop circles, dan sebagainya. Geometri Euclides merupakan geometri tradisional yang hanya mampu mempresentasikan objek-objek teratur seperti garis, segitiga, segi empat, lingkaran, kubus, trapesium, layang-layang, dan sebagainya. Ada beberapa hal penting yang bisa diungkap dengan geometri fraktal yang tidak ditemukan pada geometri Euclides, antara lain terungkap adanya: (a) Bangun geometri fraktal yang mempunyai keliling tak berhingga, tetapi luasnya nol, misalnya pada segitiga Sierpinski, merupakan paradoks fraktal, karena bertentangan dengan intuisi dan logika kita, yang selama ini lazim kita kenal dalam geometri Euclides.

(b) Dimensi fraktal yang tidak bulat bahkan sering bilangan irrasional.

(c) Interpolasi fraktal berbentuk fungsi kontinu, tetapi tidak diferensiabel di mana pun (continuous function nowhere differentiable).

Aplikasi geometri fraktal telah berkembang sangat pesat di berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK). Di bidang kedokteran, geometri fraktal digunakan untuk membuat diagnosis penyakit kanker paru-paru (lung cancer) dengan analisis fraktal pada kerusakan DNA, menggunakan dimensi fraktal citra retina sebagai prediktor kejadian stroke.

Geometri fraktal juga digunakan pada potensi analisis fraktal gempa bumi melalui analisis wavelet dan penentuan nilai b sebagai gempa susulan prekursor. Di bidang nano teknologi, geometri fraktal dimanfaatkan pada aplikasi fraktal dalam bio-nanosystems, tentang analisis fraktal struktur pori mikro dan nanosale pada karbonat menggunakan intrusi merkuri tekanan tinggi. Terapan geometri fraktal di bidang rekayasa/teknik, antara lain penerapan fraktal dalam desain produk keramik, prinsip geometri fraktal dan aplikasi dalam arsitektur dan teknik sipil, simulasi fraktal, dan numerik jaringan fraktur selama penggalian penambangan batu bara. Tidak kalah penting, pengembangan fraktal geometri menggunakan konsep matematika sangat pesat, misalnya beberapa terdapat pada konstruksi umum fungsi interpolasi fraktal pada grid n, fungsi interpolasi fraktal dengan kemiripan diri parsial, kalkulus fraksional dari fungsi interpolasi fraktal pada [0,b] (b > 0), kemulusan fungsi interpolasi fraktal pada R dan lapangan lokal

Sampul
Halaman Judul
Halaman Hak Cipta
Kata Pengantar
Daftar Isi
Bab I: Pendahuluan dan Pengertian Dasar
     1.1. Pendahuluan: Pengertian Matematika, Peran Matematika Dalam Perkembangan Iptek, Dan Gambaran Umum Geometri Fraktal.
          1.1.1. Pengertian Matematika
          1.1.2. Peran Matematika dalam Perkembangan IPTEK
          1.1.3. Gambaran Umum Geometri Fraktal
          1.1.4. Terapan Geometri Fraktal di Berbagai Bidang
     1.2. Pengertian Dasar
          1.2.1. Ruang Metrik
          1.2.2. Topologi pada Ruang Metrik
          1.2.3. Konvergensi Barisan di Ruang Metrik
          1.2.4. Ekuivalensi Ruang Metrik
          1.2.5. Himpunan Kompak
          1.2.6. Transformasi pada Ruang Metrik
          1.2.7. Fungsi Kontinu pada Ruang Metrik
          1.2.8. Pemetaan Kontraksi
          1.2.9. Cantor’s Nested Set Theorem
          1.2.10. Soal-Soal Latihan
Bab II: Ruang Fraktal
     2.1. Pengertian Ruang Fraktal dan Metrikhausdorff
     2.2. Kelengkapan ℝuang Fraktal
     2.3. Pemetaan Kontraksi Pada ℝuang Fraktal, Sistem Fungsi Iterasi (SFI), dan Attraktor
     2.4. Paradoks (Paradox) pada Fraktal
     2.5. Soal-Soal Latihan
Bab III: Dimensi Fraktal
     3.1. Dimensi Hitung Kotak
     3.2. Dimensi Fraktal Secara Teoretis
     3.3. Dimensi Hausdorff-Besicovitch
     3.4. Soal-Soal Latihan
Bab IV: Interpolasi Fraktal
     4.1. Fungsi Interpolasi Fraktal dan Buktinya
     4.2. Dimensi Fraktal dari Fungsi Interpolasi Fraktal
     4.3. Soal-Soal Latihan
Bab V: Pembuatan Program Fraktal
     5.1. Komputer dan Komputasi Matematika
     5.2. Eksistensi Attraktor Sistem Fungsi Iterasi (SFI) dari Transformasi Affine
     5.3. Algoritma Deterministik
     5.4. Algoritma Iterasi ℝandom
     5.5. Soal-Soal Latihan
Daftar Pustaka
Tentang Penulis